函数y=√[9+√(1+x)]的性质及图像研究，旨在深入理解该函数在数学领域中的表现。

首先，我们对函数进行解析，通过逐步解析方程，可以得到其定义域和值域。

定义域是指函数中x的取值范围。对于该函数而言，由于根号内的表达式必须大于等于0，因此需要满足1+x≥0，即x≥-1。

值域是指函数y的取值范围。由于根号内的表达式为正数，因此9+√(1+x)将始终大于等于9。由此可得y=√[9+√(1+x)]的最小值为3。

进一步地，我们可以通过求导数来分析该函数的单调性。对y求导得到dy/dx = 1/2 * [9+√(1+x)]^(-1/2) * (1/2) * (1+x)^(-1/2)，可以看出dy/dx始终大于0，因此该函数在整个定义域内单调递增。

接下来，我们考虑该函数的图像特征。由于函数在整个定义域内单调递增且没有拐点或间断点，因此其图像将是一条连续上升的曲线。

此外，我们可以观察到当x趋向于无穷大时，y也将趋向于无穷大；而当x趋向于-1时（即根号内表达式最小），y将趋向于3。

综上所述，通过对函数y=√[9+√(1+x)]的深入分析与理解，我们可以全面掌握其性质及图像特征，并为进一步研究提供坚实的基础。