在现代企业经营中，公司与其分公司的关系及其法律责任是一个复杂且重要的议题。特别是在涉及法律责任时，明确公司与其分公司之间的责任关系尤为重要。根据相关法律规定，公司与其分公司承担连带责任是一种常见的情况。

首先，我们需要理解什么是连带责任。在法律框架下，连带责任意味着当一方未能履行其义务时，另一方必须承担全部的责任。这种责任形式确保了债权人的权益能够得到最大程度的保障。

对于公司与其分公司而言，连带责任通常基于以下几种情况：

1. **注册资本不足**：如果一家公司的注册资本不足以覆盖其债务，债权人可以要求该公司的分公司承担连带责任。这主要是因为分公司虽然具有一定的独立性，但在法律上仍被视为公司的分支机构。

2. **授权范围内的行为**：当分公司的行为是在其授权范围内进行的，并且这些行为导致了债务产生时，母公司可能需要承担连带责任。

3. **虚假注册资本**：如果公司在设立分公司时存在虚假注册资本的情况，债权人有权要求母公司与分公司共同承担连带责任。

4. **滥用法人独立地位**：如果母公司通过滥用其法人的独立地位来逃避债务，则母公司可能需要与分公司一起承担连带责任。

为了有效避免或处理因连带责任带来的法律风险，企业应当采取以下措施：

- **明确界定权利与义务**：通过合同等法律文件明确母子公司之间的权利与义务关系。

- **严格管理资金流动**：确保分公司的财务活动在合法合规的前提下进行。

- **建立健全内部控制机制**：加强对分公司的管理和监督，防止滥用法人独立地位的行为发生。

- **及时履行债务清偿义务**：一旦出现债务问题，应及时采取措施积极应对，避免因拖延而加重法律责任。

总之，在涉及公司与其分公司之间的法律责任问题时，明确双方的权利与义务、建立健全的内部管理机制以及及时履行相关义务是避免或有效应对潜在法律风险的关键所在。