在高中数学的学习过程中，我们经常遇到几何问题，特别是在解析几何中，经常会用到齐次坐标的概念。齐次坐标是一种特殊的坐标表示方法，它通过增加一个维度来简化某些几何变换的计算。下面我们将通过一道具体的题目来探讨如何使用齐次坐标解决几何问题。

题目：给定平面上的三点A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6)，试求经过这三点的圆的方程。

传统的方法求解此题需要使用圆的一般方程 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)，并代入点A、B、C的坐标，得到一个三元一次方程组，进而求解。这种方法较为繁琐。而利用齐次坐标可以简化这一过程。

首先，我们将点A、B、C转换为齐次坐标表示。对于点A(1, 2)，我们可以写成齐次坐标 \([1, 2, 1]\)；同理，B和C可以分别写成 \([3, 4, 1]\) 和 \([5, 6, 1]\)。

接下来考虑圆的一般形式在齐次坐标下的表达方式。对于一个圆心在 \([a, b, c]\) 的圆，其半径为 \(r\) 的圆在齐次坐标下的方程可以表示为：

\[ax^2 + by^2 + cz^2 - (axz + byz) - r^2z^2 = 0\]

但是，由于我们不需要知道具体的圆心和半径值，而是要找到一个满足条件的圆的方程。因此，我们可以直接利用三个点来构造这个方程。

将点A、B、C代入上述方程中得到三个线性方程组：

\[a(1)^2 + b(2)^2 + c(1)^2 - (a(1)(1) + b(2)(1)) - r^2(1)^2 = 0\]

\[a(3)^2 + b(4)^2 + c(1)^2 - (a(3)(1) + b(4)(1)) - r^2(1)^2 = 0\]

\[a(5)^2 + b(6)^2 + c(1)^2 - (a(5)(1